Segmentos de línea congruentes

Una de las palabras más importantes en geometría es congruente. En geometría, este término se refiere a aquellos objetos que tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Dos segmentos serán congruentes si ambos tienen la misma longitud.

Notas sobre notación:

1. Cuando dos cosas son congruentes usamos el símbolo 
   ≅
   . Por ejemplo, si AB¯¯¯¯¯¯¯¯
    es congruente con CD¯¯¯¯¯¯¯¯
   , entonces lo deberíamos escribir AB¯¯¯¯¯¯¯¯
   ≅
   CD¯¯¯¯¯¯¯¯
   .
2. Cuando dibujamos segmentos congruentes, usamos un apóstrofo para denotar que los dos segmentos son congruentes.
3. Si en una misma imagen hay varios pares de segmentos congruentes (pero que no todos son congruentes entre sí), usa comillas (dos apóstrofos seguidos) para el segundo par de segmentos congruentes; tres apóstrofos para el tercero y así sucesivamente. Mira las dos ilustraciones siguientes.

Recuerda que la longitud del segmento AB¯¯¯¯¯¯¯¯ puede ser escrita de dos maneras diferentes:

mAB¯¯¯¯¯¯¯¯ o simplemente AB. Al principio, esto puede ser un poco confuso, pero te irá haciendo más sentido a medida que vayas usando esta notación. Digamos que usamos una regla para medir AB¯¯¯¯¯¯¯¯ y vemos que tiene una longitud de 5cm. Entonces, podríamos escribir mAB¯¯¯¯¯¯¯¯=5cm o AB=5cm.

Si sabes que AB¯¯¯¯¯¯¯¯≅CD¯¯¯¯¯¯¯¯, entonces podemos escribir mAB¯¯¯¯¯¯¯¯=mCD¯¯¯¯¯¯¯¯ o simplemente AB=CD.

Ejemplo 1

Henrietta dibujó un segmento de línea como se muestra en el plano cartesiano de abajo.

Ella quiere dibujar otro segmento que sea congruente al primero, que comience en (−1,1) y se dirija verticalmente hacia arriba (es decir, en la dirección +y). ¿Cuáles serán las coordenadas del otro extremo?

Tendrás que resolver este problema por etapas. El primer paso consiste en identificar la longitud del primer segmento dibujado en la cuadrícula. Este comienza en (2,3) y termina en (6,3). Entonces, su longitud es de 4unidades.

El siguiente paso es dibujar el segundo segmento. Usa un lápiz para hacerlo, de acuerdo a las especificaciones que pide el problema. Sabes que el segundo segmento necesita ser congruente con el primero, por eso será 4unidades de largo. El problema también establece que el segundo segmento debe ir verticalmente hacia arriba comenzando a partir del punto (−1,1). Dibuja el punto en (−1,1) y haz una línea vertical de 4unidades de longitud.

Ahora que ya dibujaste el segmento nuevo, usa la cuadrícula para encontrar el nuevo extremo. Este tiene una coordenada en x− de −1 y una coordenada y− de 5. Entonces, sus coordenadas son (−1,5).

Centro de segmento

Ahora que entiendes los segmentos congruentes, hay varios términos nuevos y tipos de figuras que puedes explorar. Un centro de segmento es un punto contenido en un segmento de línea que lo divide en dos segmentos congruentes. De esta manera, cada segmento entre el centro y un extremo tiene la misma longitud que el otro. En el diagrama presentado a continuación, el punto B es el centro del segmento AC¯¯¯¯¯¯¯¯, ya que AB¯¯¯¯¯¯¯¯ es congruente con BC¯¯¯¯¯¯¯¯.

Hay un postulado especial dedicado a los centros.

Postulado de centro del segmento: Cualquier segmento de línea tiene exactamente un centro. Ni uno más, ni uno menos.

Ejemplo 2

Nandi y Arshad miden la distancia entre sus casas y se dan cuenta de que están separadas por 10millas. Si se ponen de acuerdo en encontrarse en el centro de la distancia entre ambas casas, ¿qué longitud deberán viajar?

La manera más fácil de encontrar el centro del segmento imaginario que separa ambas casas es dividiendo su longitud entre 2.

10÷2=5

De esta manera, cada persona deberá viajar cinco millas para poder encontrarse en el centro, entre las casas de Nandi y Arshad.

Segmento bisector

Ahora que ya sabes cómo encontrar centros de segmentos de línea, puedes explorar los segmentos bisectores. Un bisector es una línea, segmento o rayo que pasa a través del centro de otro segmento. Probablemente sabes ya que el prefijo "bi" significa dos (piensa, por ejemplo, en las ruedas de una bicicleta. Así, un bisector corta un segmento de línea en dos partes congruentes.

Ejemplo 3

Usa una regla para dibujar un bisector del segmento a continuación.

El primer paso para identificar un bisector es encontrar el centro. Midiendo el segmento de línea encontramos que es de 4cm de largo. Para encontrar el centro, dividimos esa distancia entre 2.

4÷2=2

Así, el centro estará a 2cm medido a partir de cualquiera de los dos extremos. Mide, entonces, 2cm desde un extremo del segmento y dibuja el centro.

Para completar el problema, dibuja un segmento de línea que pase a través del centro. No importa el ángulo de inclinación que tenga el segmento, con solo que pase por el centro será suficiente para ser un bisector.

Ángulos congruentes

Ya sabes que dos segmentos de línea congruentes son los que tienen exactamente la misma longitud. También puedes aplicar el concepto de congruencia a otras figuras geométricas. Cuando los ángulos son congruentes, es porque tienen exactamente la misma medida. Es posible que apunten a diferentes direcciones, que sus lados tengan diferente longitud, tengan diferentes nombres o atributos, pero sus medidas serán las mismas.

Notas sobre notación:

1. Al escribir, para denotar que dos ángulos son congruentes, usamos el símbolo de congruencia: ∠ABC≅∠ZYX. Alternativamente, el símbolo m∠ABC se refiere a la medida de ∠ABC, así que también podemos escribir que m∠ABC=m∠ZYX y estamos teniendo el mismo significado que ∠ABC≅∠ZYX. Notarás entonces que los "números" (como las medidas), al igual que los "objetos" (como ángulos y segmentos), también son congruentes.
2. Cuando dibujamos ángulos congruentes, usa un arco en el interior del ángulo para mostrar que dos ángulos son congruentes. Si dos diferentes pares de ángulos son congruentes, usa un solo arco para el par de ángulos, dos para el segundo y así sucesivamente.

Usa álgebra para encontrar una manera de resolver el problema presentado a continuación usando esta información.

Ejemplo 4

Los ángulos mostrados abajo son congruentes.

¿Cuánto mide cada ángulo?

Este problema combina tanto álgebra como geometría, así que asegúrate de plantearlo correctamente. En el enunciado está dado que dos ángulos son congruentes, así que deben tener la misma medida. De esta manera, puedes plantear una ecuación en la que la expresión que representa un ángulo es igual a la que representa al otro.

5x+7=3x+23

Ahora, ya tienes una ecuación de una variable, y despejar x.

=3x+23

Así, el valor de x es 8. Usa este valor de xpara encontrar la medida de uno de los ángulos del problema.

Finalmente, sabemos que 

m∠ABC=m∠XYZ, así que ambos ángulos miden 47∘.

Ángulos bisectores

Si un segmento bisector divide un segmento en dos partes congruentes, probablemente adivinarás lo que es un "ángulo bisector". Un ángulo bisector divide un ángulo en dos ángulos congruentes, cada uno midiendo exactamente la mitad el ángulo original.

Postulado del ángulo bisector: Cada ángulo tiene exactamente un bisector.

Ejemplo 5

El ángulo a continuación mide 136∘.

Si se dibuja un ángulo bisector en este ángulo, ¿cuánto medirán los nuevos ángulos formados?

Este problema es similar al del ejemplo donde se encontraba el centro entre dos casas. Para encontrar las medidas de los ángulos más pequeños una vez que ya esté dibujado el bisector, divide la medida del ángulo original entre 2:

136÷2=68

Así, cada ángulo nuevo formado debería medir 68∘, cuando el ángulo de 136∘ se ha bisectado (partido en dos).